Đáp án D

Dựng C E / / B M  khi đó d B M ; S C = d B M ; S C E  

Ta có A E M E = 3 2 ⇒ d M = 2 3 d A  

Dựng A I ⊥ C E ; A F ⊥ S I ⇒ d A = A F  

Trong đó S A = a , A I = A E sin E ,  với

sin E = C D C E = a a 2 + a 2 2 = 2 5 ⇒ A I = 3 a 2 . 2 5 = 3 a 5  

Hoặc tính  A I = 2 S A C D C D ⇒ d A = A I . S A A I 2 + S A 2 = 3 14 ⇒ d M = 2 14

Đáp án D

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Đáp án D.

Qua C kẻ đường thẳng song song với BM cắt AD tại N.

Ta có B M / / C N ⇒ d S C , B M = d B M , S C N  

= d M , S C N = 2 3 d A , S C N  

Kẻ A H ⊥ C N ,   A K ⊥ S H  

Ta có C N ⊥ A H C N ⊥ S A ⇒ C N ⊥ ( S A H ) ⇒ C N ⊥ A K  

Mà A K ⊥ S H ⇒ A K ⊥ ( S C N )

Đáp án D

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Đáp án C

Theo dữ kiện đề bài cho, dễ dàng chứng minh được ΔACD vuông tại cân C và A C = A D 2 = a 2 .

C D ⊥ A C C D ⊥ S A ⇒ C D ⊥ S A C ⇒ S A C ⊥ S C D

Mà S A C ∩ S C D = S C , từ A kẻ A H ⊥ S C . Khi đó d A ; S C D = A H .

Tam giác SAC vuông tại

 A: 1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A C 2 = 1 a 2 + 1 2 a 2 = 3 2 a 2 ⇒ d A ; S C D = A H = a 2 3

Mặt khác: A D ∩ S C D = D  và M là trung điểm AD nên:

d M ; S C D d A ; S C D = M D A D = 1 2 ⇒ d M ; S C D = 1 2 d A ; S C D = a 6 6

Ta có \(\frac{d\left(A,\left(SCD\right)\right)}{d\left(M,\left(SCD\right)\right)}=2\Rightarrow d=\left(m,\left(SCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(A,\left(SCD\right)\right)\)

Dễ thấy AC _|_ CD, SA _|_ CD dựng AH _|_ SA => AH _|_ (SCD)

Vậy d(A,(SCD))=AH

Xét tam giác vuông SAC (A=1v) có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AS^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Vậy suy ra \(d\left(M,\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

$E=AB\cap CD,G=EN\cap SB\Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác SAE.

d(M,(NCD))=GMGBd(B,(NCD))=12d(B,(NCD))=12.12d(A,(NCD))=14d(A,(NCD))=14hd(M,(NCD))=GMGBd(B,(NCD))=12d(B,(NCD))=12.12d(A,(NCD))=14d(A,(NCD))=14h 

Tứ diện AEND vuông tại đỉnh A nên 

h=\(\dfrac{\sqrt{6}}{6}\)